Question

18．已知函數(shù)f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），…，其中n∈N，則f₁₉（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求得f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），…從中找出規(guī)律（周期），從而使問題解決．

解答 解：∵f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=sinx，f₄（x）=f₃′（x）=cosx，…，
∴f_n+4（x）=f_n（x），
∴f_n（x）的下標(biāo)是以4為周期的函數(shù)，
∴f₁₉（x）=f₁₆₊₃（x）=f₃（x）=sinx，
故f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與函數(shù)的周期性，得到f_n+4（x）=f_n（x）是關(guān)鍵，屬于中檔題．