Question

5．已知焦點(diǎn)在x軸的橢圓的離心率與雙曲線3x²-y²=3的離心率互為倒數(shù)，且過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)P（$\frac{1}{5}$，0），有|MP|=|NP|，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得離心率e，代入即可求得橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=2．設(shè)橢圓方程，將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得c的，即可求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），求得其垂直平分線方程，P在l′上，
代入求得m的值，代入即可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）雙曲線3x²-y²=3的標(biāo)準(zhǔn)方程：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{1}$=2．
由題意可得，橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$，
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$．
又點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，
∴$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{3{c}^{2}}=1$，解得：c²=1，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
△=（8km）2-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3，
由x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
∴MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
即為|MP|=|NP|，
∴P在MN的垂直平分線上，
設(shè)MN的垂直平分線l′方程：y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{5}$），
∵P在l′上，
∴$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{1}{5}$），得4k²+5km+3=0，解得：m=-$\frac{4{k}^{2}+3}{5k}$，
將上式代入①式得$\frac{（4{k}^{2}+3）^{2}}{25{k}^{2}}$＜4k²+3，即k²＞$\frac{1}{7}$，
解得：k＞$\frac{\sqrt{7}}{7}$或k＜-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴k的取值范圍為（-∞，-$\frac{\sqrt{7}}{7}$）∪（$\frac{\sqrt{7}}{7}$+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．