Question

19．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，記A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2（n∈N^*），若對于任意n∈N^*，A（n），B（n），C（n）成等差數(shù)列，則A（n）=（　�。�

• A． 3^n-1
• B． 2^n-1+n²-1
• C． 2n²-3n+2
• D． n²

Answer 1

分析 對于任意n∈N^*，A（n），B（n），C（n）成等差數(shù)列，可得：2B（n）=A（n）+C（n），化為：a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=2，對于任意n∈N^*都成立．可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

解答 解：∵對于任意n∈N^*，A（n），B（n），C（n）成等差數(shù)列，
∴2B（n）=A（n）+C（n），
∴2（a₂+a₃+…+a_n+1）=a₁+a₂+…+a_n+a₃+a₄+…+a_n+2，
化為：a₂+a_n+1=a₁+a_n+2，
即a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=2，對于任意n∈N^*都成立．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴A（n）=a₁+a₂+…+a_n=$n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²．
故選：D．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．