Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形紙片ABCD的長為4，寬為2．AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．將矩形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)A落在邊CD上，記為點(diǎn)A'，如圖所示．
（1）設(shè)A'的坐標(biāo)是（2a，2）（0≤a≤2），寫出折痕所在直線的方程；
（2）若折痕經(jīng)過B時(shí)，求折痕所在直線的斜率，并寫出以折痕為直徑的圓方程．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，其折痕為線段OD的垂直平分線，由D和O的坐標(biāo)求出線段OD的中點(diǎn)縱坐標(biāo)，得到過中點(diǎn)且與y軸垂直的直線方程即為折痕所在的直線方程；當(dāng)0＜a≤2時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)得到線段A'A的中點(diǎn)在折痕上，且折痕與直線A'A垂直，由A和A'的坐標(biāo)求出線段A'A的中點(diǎn)坐標(biāo)，及直線A'A的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出折痕所在直線的斜率，由求出的中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出折痕所在的直線方程即可；
（2）把B的坐標(biāo)代入（1）求出的折痕方程得到關(guān)于a的一元二次方程，求出方程的解得到a的值，進(jìn)而得到折痕的斜率，進(jìn)而確定出折痕所在直線的方程，求出折痕與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出折痕中點(diǎn)N的坐標(biāo)，即為圓心的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出|MB|的長，即為圓的半徑，由求出的圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，則“拆痕”所在的直線為線段AD的中垂線，它的方程為y=1．
當(dāng)0＜a≤2時(shí)，則線段A'A的中點(diǎn)E是（a，1），直線A'A的斜率k_A'A=

1

a

，
從而折痕所在直線的斜率k=-a，
此時(shí)折痕所在直線的方程為ax+y-1-a²=0；
（2）若折痕經(jīng)過B時(shí)，由a²-4a+1=0，
解得a=2+

3

（舍去），或a=2-

3

，
所以折痕所在直線的斜率為-2．
此時(shí)折痕與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，8-4

3

），折痕中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，4-2

3

），
則MB²=4²+（8-4

3

）²=16（8-4

3

）．
所以折痕為直徑的圓方程為（x-2）²+（y-4+2

3

）²=32-16

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，直線的一般式方程，以及兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，其中第一問熟練掌握折疊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，第二問根據(jù)題意求出M和N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．