Question

5．已知以點A（m，$\frac{2}{m}$）（m∈R且m＞0）為圓心的圓與x軸相交于O，B兩點，與y軸相交于O，C兩點，其中O為坐標原點．
（1）當m=2時，求圓A的標準方程；
（2）當m變化時，△OBC的面積是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）設直線l：2x+y-4=0與圓A相交于P，Q兩點，且|OP|=|OQ|，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （1）當m=2時，圓心A的坐標為（2，1），求出半徑，即可求解圓的方程．
（2）∵圓A過原點O，求出圓A的方程，求出BC坐標，求出S_△OBC，推出△OBC的面積為定值；
（3）∵|OP|=|OQ|，|AP|=|AQ|，說明OA垂直平分線段PQ，k_PQ=-2，得到k_oA=$\frac{1}{2}$，求出m然后利用圓心到直線的距離與半徑半弦長的關系求解即可．

解答 解：（1）當m=2時，圓心A的坐標為（2，1）
∵圓A過原點O，∴|OA|²=2²+1²=5
則圓A的方程是（x-2）²+（y-1）²=5；
（2）∵圓A過原點O，∴|OA|²=${m^2}+\frac{4}{m^2}$
則圓A的方程是（x-m）²+（$y-\frac{2}{m}$）²=${m^2}+\frac{4}{m^2}$，
令x=0，得y₁=0，y₂=$\frac{4}{{{m^{\;}}}}$，∴$C（{0，\frac{4}{m}}）$
令y=0，得x₁=0，x₂=2m，∴B（2m，0）
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}|{OA}||{OB}|=\frac{1}{2}|{\frac{4}{m}}||{2m}|$=4，即：△OBC的面積為定值；
（3）∵|OP|=|OQ|，|AP|=|AQ|，∴OA垂直平分線段PQ，
∵k_PQ=-2，∴k_oA=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{\frac{2}{m}}}{m}$=$\frac{1}{2}$，解得：m=2或m=-2，
∵已知m＞0，∴m=2
∴圓A的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
此時A（2，1）到直線2x+y-4=0的距離d=$\frac{1}{\sqrt{5}}＜\sqrt{5}$，
圓A與直線l：2x+y-4-0相交于兩點，
|PQ|=$2\sqrt{{r^2}-{d^2}}$=$2\sqrt{5-\frac{1}{5}}$=$\frac{{4\sqrt{30}}}{5}$．

點評 本題考查直線與圓的方程的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．