Question

已知sin（x+

π

4

）=

4

5

．
（1）求cos（x-

π

4

）的值；
（2）設(shè)

π

4

＜x＜

7π

4

，求：
①cos（x+

π

4

）的值；
②

sin2x-2sin2x

1+tanx

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）原式中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡，把已知等式代入計(jì)算即可求出值；
（2）①由x的范圍求出x+

π

4

的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（x+

π

4

）的值即可；
②由第一問及第二問第一小題的結(jié)果，利用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式求出sinx與cosx的值，原式變形后代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（1）∵sin（x+

π

4

）=

4

5

，
∴cos（x-

π

4

）=cos[（x+

π

4

）-

π

2

]=cos[

π

2

-（x+

π

4

）]=sin（x+

π

4

）=

4

5

；
（2）①∵

π

4

＜x＜

7π

4

，sin（x+

π

4

）=

4

5

＞0，
∴

π

2

＜x+

π

4

＜π，
∴cos（x+

π

4

）=-

1-( 4 5 )2

=-

3

5

；
②∵cos（x+

π

4

）=

2

2

（cosx-sinx）=-

3

5

，即cosx-sinx=-

3 2

5

，
sin（x+

π

4

）=

2

2

（sinx+cosx）=

4

5

，即sinx+cosx=

4 2

5

，
解得：sinx=

7 2

10

，cosx=

2

10

，
則原式=

2sinxcosx-2sin2x

1+ sinx cosx

=

2sinxcos2x-2sin2xcosx

sinx+cosx

=

2sinxcosx(cosx-sinx)

cosx+sinx

=

2× 7 2 10 × 2 10 ×(- 3 2 5 )

4 2 5

=-

21

100

．

點(diǎn)評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．