Question

給出四個(gè)等式：

（1）寫出第個(gè)等式，并猜測(cè)第（）個(gè)等式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜測(cè)的等式.

 

Answer 1

（1）第個(gè)等式：，第個(gè)等式：，第個(gè)等式：；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）通過觀察前4個(gè)等式的特征不難得到第個(gè)等式，同過歸納，也易猜測(cè)第（）個(gè)等式、不過這里涉及到正負(fù)號(hào)問題，這個(gè)問題經(jīng)常通過或來調(diào)控；（2）首先要掌握好數(shù)學(xué)歸納法證題的規(guī)范、完整的證題步驟，而真正的難點(diǎn)和重點(diǎn)是由假設(shè)來推導(dǎo)第步，這里要充分地利用假設(shè)，對(duì)于恒等式的證明在利用了假設(shè)以后就很容易推導(dǎo)出第步，如何利用假設(shè)呢？就是要?jiǎng)?chuàng)造假設(shè)所具備的條件，那才會(huì)有假設(shè)所具有的結(jié)論，故有“湊假設(shè)”一說.

試題解析：（1）第個(gè)等式： 2分

第個(gè)等式： 4分

第個(gè)等式： 6分

（2）證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊， 右邊，左邊右邊，等式成立. 8分

（2）假設(shè)（）時(shí)，等式成立，即.

那么當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，等式也成立.

根據(jù)（1）、（2）可知，對(duì)于任何等式均成立． 14分

考點(diǎn)：1.歸納推理；2. 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用之一：歸納、猜想和證明.