Question

12．設(shè)P為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，|PF₁|+|PF₂|=4，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m（m≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），且與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，若直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的定義可得a=2，由離心率公式可得c，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由題意可得k=m，設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)整理可得k的值，進(jìn)而得到所求直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，可得a=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
則橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）由直線y=kx+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），可知，k=m，
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+k\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消y，得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0，
由直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，可得△=64k⁴-16（k²-1）（4k²+1）＞0，解得k∈R，
由韋達(dá)定理得，${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，
由題意知，k²=k_OP•k_OQ，
即${k^2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}}}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}+\frac{{{k^2}（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}+\frac{k^2}{{{x_1}{x_2}}}$，
所以$\frac{{{k^2}（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}+\frac{k^2}{{{x_1}{x_2}}}=0$，即-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+1=0，
即${k^2}=\frac{1}{4}$，即為k=±$\frac{1}{2}$，
所以直線l的方程為x-2y+1=0或x+2y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和離心率公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和直線的斜率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．