Question

2．過定點(diǎn)A（-a，0）（a＞0）作任意直線交y軸于B點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)P，使|BP|=|OB|，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 由OP的垂直平分線方程與y軸相交于點(diǎn)B，設(shè)出P的坐標(biāo)，可得B的坐標(biāo)，利用斜率相等，即可求點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：由OP的垂直平分線方程與y軸相交于點(diǎn)B．
由題意設(shè)P（2m，2n），則OP的垂直平分線方程為y-n=-$\frac{m}{n}$（x-m），
令x=0可得，y=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{n}$，
即B（0，$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{n}$），
由k_AP=k_AB可得$\frac{2n}{2m+a}$=$\frac{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{n}}{a}$，
∴（2m+a）•$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{n}$=2na，
令2m=x.2n=y，可得（x+a）•$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2y}$=ay，
化簡(jiǎn)可得x³+xy²+ax²-ay²=0（a＞0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出B的坐標(biāo)是關(guān)鍵．