Question

【題目】給定數(shù)列. 對(duì)，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，后項(xiàng)的最小值記為，.

（1）設(shè)數(shù)列為3,4,7,1. 寫(xiě)出的值；

（2）設(shè)是公比大于的等比數(shù)列，且，證明是等比數(shù)列；

（3）若，證明是常數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)的定義，求得的值.

（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，確定，根據(jù)等比數(shù)列的定義，證得是等比數(shù)列；

（3）先證得后面的項(xiàng)，都不小于，然后證得后面的項(xiàng)，都不大于，由此證得后面的項(xiàng)，和都相等，即證得數(shù)列的每一項(xiàng)和都相等，也即證得是常數(shù)列.

（1），，

（2）因?yàn)?/span>是公比大于的等比數(shù)列，且

所以.

所以當(dāng)時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，

所以是等比數(shù)列.

（3）因?yàn)?/span>即，故，使，且對(duì)，都有……①.

若，則；

若，因?yàn)?/span>，所以，

所以對(duì)，都有……②.

由①②知，對(duì)，都有.

綜上，.

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以，使.

同上可證.

以此類(lèi)推，由于僅有有限項(xiàng)，所以是常數(shù)列.