Question

【題目】在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面，，且，過點分別作于點，于點，連結，當的面積最大時，__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

利用平面，根據線面垂直的性質定理可得，結合已知，利用線面垂直的判定定理可以證明出平面，進而可以證明出，再結合已知，利用線面垂直的判定定理可以證明平面，因此可以證明出，最后利用線面垂直定理證明出平面，因此得到，，且為中點.

解法1：

設，，利用三角形面積公式可以求出的長，在利用，求出的長，最后求出的面積表達式，利用換元法和配方法求出面積平方的最大值，最后求出的值；

解法2：

設，求出、、、的大小，再求出的大小，最后求出

表達式，利用同角三角函數的關系中商關系和基本不等式求出最大值，根據等號成立的條件求出的值.

因為平面，所以，又，

所以平面，所以，又，

所以平面，所以，又，

所以平面，綜上，，且為中點.

解法1：

設，，則，又，則，

又，可得，所以，

所以，令，

則

所以當時即，，，此時，故填.

解法2.

設，則，所以.

又，，所以，所以

所以

當且僅當即時，取等號.

故答案為：