Question

18．設(shè)|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，若函數(shù)f（x）=|$\overrightarrow a$+x$\overrightarrow b$|（x∈R）的最小值為1，則$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的模長(zhǎng)公式將條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用構(gòu)造法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進(jìn)行求解即可．

解答 解：由于$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，函數(shù)$f（x）=|{\overrightarrow a+x\overrightarrow b}|$（x∈R）的最小值為1，
則$f（x）=|{\overrightarrow a+x\overrightarrow b}|=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}+2x\overrightarrow a•\overrightarrow b+{{（{x\overrightarrow b}）}^2}}=\sqrt{2+2x\overrightarrow a•\overrightarrow b+2{x^2}}$，
即$2{x^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow bx+2$的最小值為1，
令$\overrightarrow a•\overrightarrow b=t$，
設(shè)g（x）=2x²+2tx+2，當(dāng)且僅當(dāng)$x=-\frac{t}{2}$時(shí)，g（x）取得最小值$-\frac{t^2}{2}+2$，
因此$-\frac{t^2}{2}+2=1$，解得$t=±\sqrt{2}$，
所以$\overrightarrow a•\overrightarrow b=±\sqrt{2}$．
故答案為：$±\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量模長(zhǎng)公式，以及構(gòu)造法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．