12.在平面直角坐標系xOy中,曲線y=x2-6x+5與坐標軸的交點都在圓C上.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且CA⊥CB求a的值.

分析 (Ⅰ)曲線y=x2-6x+5與坐標軸的交點為A(0,5),B(1,0),C(5,0),設圓C的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入構造方程組,解得圓C的方程;
(Ⅱ)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且CA⊥CB,則d=$\frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{13}$,解得a值.

解答 (本題滿分12分)
解:(Ⅰ)曲線y=x2-6x+5與坐標軸的交點為A(0,5),B(1,0),C(5,0),
設圓C的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則$\left\{\begin{array}{l}25+5E+F=0\\ 1+D+F=0\\ 25+5D+F=0\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}D=-6\\ E=-6\\ F=5\end{array}\right.$,
故圓C的方程為:x2+y2-6x-6y+5=0,即(x-3)2+(y-3=13 …(8分)
(Ⅱ)由CA⊥CB得△ABC為等腰直角三角形,|AB|=$\sqrt{2}$r
d=$\frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{13}$,
解得:a=±$\sqrt{13}$…(12分)

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),直線與圓的位置關系,熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關鍵.

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