Question

8．已知圓C：x²+y²=1與直線l：$\sqrt{3}$x-y+m=0相交于不同的A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）若|AB|=$\sqrt{3}$，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）直線與圓的方程聯立，利用判別式大于0，即可求實數m的取值范圍；
（2）求出圓心C（0，0）到直線$l：\sqrt{3}x-y+m=0$的距離，利用|AB|=$\sqrt{3}$，求實數m的值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=1\\ \sqrt{3}x-y+m=0\end{array}\right.$消去y得$4{x^2}+2\sqrt{3}mx+{m^2}-1=0$，
由已知得，${（2\sqrt{3}m）^2}-16（{m^2}-1）＞0$
得m²-4＜0，得實數m的取值范圍是（-2，2）；
（2）因為圓心C（0，0）到直線$l：\sqrt{3}x-y+m=0$的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{|m|}{2}$，
所以$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}=\sqrt{4-{m^2}}$
由已知得$\sqrt{4-{m^2}}=\sqrt{3}$，解得m=±1．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查弦長的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．