Question

13．（Ⅰ）求數(shù)列{n+3^n-1}前n項和S_n；    
（Ⅱ）求數(shù)列{n×3^n-1}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知，數(shù)列{n+3^n-1}是由等比數(shù)列與等差數(shù)列和的形式，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列前n項和公式，即可求得S_n；    
（Ⅱ）數(shù)列{n×3^n-1}是由等比數(shù)列和等差數(shù)列的乘積組成的數(shù)列，采用“錯位相減法”即可求得T_n．

解答 解：（1）由S_n=1+2+3+…+n+1+3+3²+3³+…+3^n-1
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1-{3}^{n-1}•3}{1-3}$
=$\frac{{3}^{n}+{n}^{2}+n-1}{2}$，
∴S_n=$\frac{{3}^{n}+{n}^{2}+n-1}{2}$；
（2）T_n=1×1+2×3+3×3²+…+n×3^n-1，
∴3T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，
兩式相減：-2T_n=1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ，
=$\frac{1-{3}^{n-1}•3}{1-3}$-n×3ⁿ，
=$\frac{（2n-1）•{3}^{2}+1}{4}$．
∴T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{2}+1}{4}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和公式，考查“錯位相減法”求數(shù)列的前n項方法，考查計算能力，屬于中檔題．