Question

已知函數(shù)y=f（x），若在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的局部對稱點．
（1）若a∈R且a≠0，證明：函數(shù)f（x）=ax²+x-a必有局部對稱點；
（2）若函數(shù)f（x）=2^x+b在區(qū)間[-1，2]內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3在R上有局部對稱點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)定義構(gòu)造方程ax²+x-a=0，再利用判別式得到方程有解，問題得以解決．
（2）根據(jù)定義構(gòu)造方程2^x+2^-x+2b=0在區(qū)間[-1，2]上有解，再利用換元法，設(shè)t=2^x，求出b的范圍，問題得以解決．
（3）根據(jù)定義構(gòu)造方程4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0…（*）在R上有解，再利用換元法，設(shè)t=2^x+2^-x，方程變形為t²-2mt+2m²-8=0 在區(qū)間[2，+∞）內(nèi)有解，再根據(jù)判別式求出m的范圍即可

解答： 解：（1）由f（x）=ax²+x-a得f（-x）=ax²-x-a，
代入f（-x）=-f（x） 得ax²+x-a+ax²-x-a=0
得到關(guān)于x的方程ax²-a=0（a≠0），
其中△=4a²，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，
所以函數(shù)f（x）=ax²+x-a必有局部對稱點；
（2）f（x）=2^x+b在區(qū)間[-1，2]內(nèi)有局部對稱點，
∴方程2^x+2^-x+2b=0在區(qū)間[-1，2]上有解，于是-2b=2^x+2^-x，
設(shè)t=2^x，

1

2

≤t≤4，
∴-2b=t+

1

t

，其中2≤t+

1

t

≤

17

4

，
所以-

17

8

≤b≤-1
（3）∵f（-x）=4^-x-m•2^-x+1+m²-3，
由f（-x）=-f（x），∴4^-x-m•2^-x+1+m²-3=-（4^x-m•2^x+1+m²-3），
于是 4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0…（*）在R上有解，
令t=2^x+2^-x（t≥2），則4^x+4^-x=t²-2，
∴方程（*）變?yōu)閠²-2mt+2m²-8=0 在區(qū)間[2，+∞）內(nèi)有解，需滿足條件：

△=4m2-8(m2-4)≥0 2m+ 4(8-m2) 2 ≥2

即

-2 2 ≤m≤2 2 1- 3 ≤m≤2 2

，
化簡得1-

3

≤m≤2

2

點評：本題依據(jù)新定義，考查了方程的解得問題以及參數(shù)的取值范圍，以及換元的思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題