Question

16．與向量$\vec a=（{3，4}）$，$\vec b=（{4，3}）$的夾角相等的單位向量是（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)出單位向量，再由向量夾角的公式，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示和模的公式列出方程，再由單位向量的模為1，得到方程，解方程即可得到．

解答 解：設(shè)與$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角相等的單位向量為$\overrightarrow{c}$=（x，y），
則$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow|•|\overrightarrow{c}|}$，
即有$\frac{3x+4y}{5}$=$\frac{4x+3y}{5}$，
則x=y，又x²+y²=1，
得2x²=1，得x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有$\overrightarrow{c}$=$（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$或$（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
故答案為：（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式和向量的夾角公式，以及向量的模的公式，單位向量的定義，考查運(yùn)算能力，設(shè)出向量坐標(biāo)建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．．