Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x（x∈R，e=2.71828…）
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）t為實數(shù)，且f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切實數(shù)x都成立，求t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的定義域，計算f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可得證；
（Ⅱ）f（x-t）+f（x²-t²）≥0，即為f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（t-x），判斷f（x）在R上遞增，去掉f，運用參數(shù)分離，求得右邊二次函數(shù)的最小值，計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）證明：f（x）的定義域為R，
f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），
即有函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）f（x-t）+f（x²-t²）≥0，即為
f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（t-x），
由f（x）=e^x-e^-x在R上為增函數(shù)，
可得x²-t²≥t-x，即有t²+t≤x+x²，
由x+x²=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，可得t²+t≤-$\frac{1}{4}$，
即有（t+$\frac{1}{2}$）²≤0，但（t+$\frac{1}{2}$）²≥0，
則t=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運用：解不等式，考查恒成立問題的解法，注意運用函數(shù)的性質(zhì)和參數(shù)分離，以及二次函數(shù)的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題．