Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（2＞b＞0）的上、下頂點分別為A、B，過點B的直線與橢圓交于另一點D，與直線y=-2交于點M．
（Ⅰ）當(dāng)b=1且點D為橢圓的右頂點時，求三角形AMD的面積S的值；
（Ⅱ）若直線AM、AD的斜率之積為-$\frac{3}{4}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)b=1且點D為橢圓的右頂點時，得到A，B，D的坐標(biāo)，寫出直線MD的方程，求得M坐標(biāo)由S=S_△ABD+S_△ABM得答案；
（Ⅱ）設(shè)直線MD的方程為y=kx-b（k≠0），分別聯(lián)立MD所在直線方程與橢圓方程和y=-2，求得M，D的坐標(biāo)，由直線AM、AD的斜率之積為-$\frac{3}{4}$得到b值，則橢圓C的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)b=1且點D為橢圓的右頂點時，A（0，1），B（0，-1），D（2，0），
∴直線MD的方程為$y=\frac{1}{2}x-1$，可得M（-2，-2），﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3分）
∴S=S_△ABD+S_△ABM=$\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×2=4$．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（6分）
（Ⅱ）A（0，b），B（0，-b），設(shè)直線MD的方程為y=kx-b（k≠0），則：
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=kx-b\end{array}\right.$，解得$D（\frac{8kb}{{4{k^2}+{b^2}}}，\frac{{4{k^2}b-{b^3}}}{{4{k^2}+{b^2}}}）$，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（10分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-2\\ y=kx-b\end{array}\right.$，解得 $M（\frac{b-2}{k}，-2）$，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（11分）
∴${k_{AM}}•{k_{AD}}=-\frac{{{b^2}（2+b）}}{4（2-b）}=-\frac{3}{4}$．
∴b³+2b²+3b-6=（b-1）（b²+3b+6）=0，解得b=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（13分）

點評 不同考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．