Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=3a_n+2．
（Ⅰ）證明{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=3a_n+2可變形為a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比數(shù)列的定義與通項公式即可得出．
（Ⅱ）由3ⁿ-1≥2•3^n-1，$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{3^n}-1}}≤\frac{1}{{2•{3^{n-1}}}}$，利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 證明：（Ⅰ）由a_n+1=3a_n+2可變形為a_n+1+1=3（a_n+1），
∴{a_n+1}是首項為a₁+1=3，公比為3的等比數(shù)列．
∴，${a_n}+1=3•{3^{n-1}}={3^n}$，
∴${a_n}={3^n}-1$．
（Ⅱ）∵3ⁿ-1≥2•3^n-1，$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{3^n}-1}}≤\frac{1}{{2•{3^{n-1}}}}$，
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}$$≤\frac{1}{2}+\frac{1}{{2•{3^1}}}+\frac{1}{{2•{3^2}}}+…+\frac{1}{{2•{3^{n-1}}}}$=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}）=\frac{1}{2}•\frac{{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}}{{1-\frac{1}{3}}}$=$\frac{3}{4}[1-{（\frac{1}{3}）^n}]$$＜\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、遞推關(guān)系、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．