Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，C、F是⊙O上的兩點(diǎn)，OC⊥AB，過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線(xiàn)FD交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．連接CF交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：DE²=DB•DA；    
（2）若DB=2，DF=4，試求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OF，利用切線(xiàn)的性質(zhì)及角之間的互余關(guān)系得到DF=DE，再結(jié)合切割線(xiàn)定理證明DE²=DB•DA，即可求出DE．
（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OF．
因?yàn)镈F切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因?yàn)镺C=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因?yàn)镃O⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因?yàn)镈F是⊙O的切線(xiàn)，所以DF²=DB•DA．
所以DE²=DB•DA．
（2）解：∵DF²=DB•DA，DB=2，DF=4．
∴DA=8，從而AB=6，則OC=3．
又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．
從而 在Rt△COE中，$CE=\sqrt{C{O^2}+O{E^2}}=\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段、圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．