Question

從棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，設(shè)隨機(jī)變量X是以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積．
（1）求概率P（X=

1

2

）；
（2）求X的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（X）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）符合古典概型，利用概率公式求解；
（2）由題意三角形的三邊不可能都是正方體的棱，從而分別求概率及面積，從而列分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有

C

3 8

=56種情況，
∵正方體的棱長(zhǎng)為1，故若三點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形的面積為

1

2

，
則該三角形的兩邊為正方體的相鄰的棱，
故共有8•

C

2 3

=24個(gè)，
故P（X=

1

2

）=

24

56

=

3

7

；
（2）顯然，三角形的三邊不可能都是正方體的棱，
若恰有一邊為棱，則對(duì)于每一條棱，只有2種選擇，故2×12=24種，
面積為

2

2

；
P（X=

2

2

）=

24

56

=

3

7

；
故都不是棱，則為正三角形，面積為

3

2

；
P（X=

3

2

）=1-

3

7

-

3

7

=

1

7

；
則分布列是

X	1 2	2 2	3 2
P（X）	3 7	3 7	1 7

E（X）=

1

2

×

3

7

+

2

2

×

3

7

+

3

2

×

1

7

=

3+3 2 + 3

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型的判斷與概率公式的應(yīng)用及數(shù)學(xué)期望的求法，屬于基礎(chǔ)題．