Question

14．若關(guān)于x的方程cos²x-sinx+a=0有解，則a的取值范圍是[$-\frac{5}{4}$，1]．

Answer 1

分析 若方程cos²x-sinx+a=0有實數(shù)解，實數(shù)a應(yīng)該屬于函數(shù)y=-cos²x+sinx的值域，結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系式，再結(jié)合二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域求法，易得函數(shù)y=-cos²x+sinx的值域，進(jìn)而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：cos²x-sinx+a=0，
可得：a=-cos²x+sinx
∵-cos²x+sinx
=-1+sin²x+sinx
=（sinx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$
又∵-1≤sinx≤1
∴-$\frac{5}{4}$≤（sinx+$\frac{1}{2}$）²$-\frac{5}{4}$≤1
∴-$\frac{5}{4}$≤-cos²x+sinx≤1，
關(guān)于x的方程cos²x-sinx+a=0有解，則a的取值范圍是：[$-\frac{5}{4}$，1]．
故答案為：[$-\frac{5}{4}$，1]．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，方程f（x）=a有實數(shù)解，即a屬于函數(shù)y=f（x）的值域，然后將方程有實根的問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題．