Question

9．在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸上的橢圓C的焦距為2，且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若經(jīng)過點（0，$\sqrt{2}$）且斜率為k的直線l與橢圓C有兩個不同的交點P和Q．
（1）求k的取值范圍；
（2）設橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{AB}$共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設出橢圓標準方程，且求得c，a的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）（1）寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式大于0求得k的范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P，Q兩點的橫坐標與縱坐標的和，結(jié)合$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{AB}$共線求得k值，與（1）中求出的k的范圍矛盾．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
且2c=2，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴c=1，a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，
∴橢圓方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（ II）①由已知條件，直線l的方程為$y=kx+\sqrt{2}$，
代入橢圓方程得$\frac{x^2}{2}+{（kx+\sqrt{2}）^2}=1$．
整理得$（{\frac{1}{2}+{k^2}}）{x^2}+2\sqrt{2}kx+1=0$，①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于$△=8{k^2}-4（{\frac{1}{2}+{k^2}}）=4{k^2}-2＞0$，
解得$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$k＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
即k的取值范圍為$（{-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）∪（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞}）$；
②設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$，
由方程①，得${x_1}+{x_2}=-\frac{{4\sqrt{2}k}}{{1+2{k^2}}}$．②
又${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2\sqrt{2}$．③
而$A（\sqrt{2}，0），B（0，1），\overrightarrow{AB}=（-\sqrt{2}，1）$．
∴$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{AB}$共線等價于${x_1}+{x_2}=-\sqrt{2}（{y_1}+{y_2}）$，
將②③代入上式，解得$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
由（Ⅰ）知$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$k＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故沒有符合題意的常數(shù)k．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應用，訓練了向量法在求解圓錐曲線問題中的應用，是中檔題．