Question

11．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的x∈R，滿足f（x+1）+f（x）=0，且當0＜x＜1時，f（x）=2^x，則f（-$\frac{5}{2}}$）+f（4）=-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系將條件進行轉(zhuǎn)化進行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的x∈R，滿足f（x+1）+f（x）=0，
∴f（x+1）=-f（x），
則f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
則f（4）=f（0）=0，
∵當0＜x＜1時，f（x）=2^x，
∴f（-$\frac{5}{2}}$）=f（-$\frac{5}{2}}$+2）=f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=-${2}^{\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{2}$，
則f（-$\frac{5}{2}}$）+f（4）=-$\sqrt{2}$+0=-$\sqrt{2}$，
故答案為：-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，利用是周期性和奇偶性進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．