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3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S5=4a3+6,且a2,a3,a9成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)如果a1≠a5,求數(shù)列{1Sn}的前n項(xiàng)和.

分析 (1)根據(jù)等差數(shù)列的定義,設(shè)出公差d,利用S5=4a3+6,且a2,a3,a9成等比數(shù)列.建立關(guān)系式,求解公差d和a1,即可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求出等差數(shù)列Sn;數(shù)列{1Sn}的通項(xiàng)公式;裂項(xiàng)相消法求解前n項(xiàng)和.

解答 解:(1)由題意:數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差d,首項(xiàng)為a1,S5=4a3+6,
則:S5=4a3+6=5a1+5×4d2,
∴a1+2d=6…①
又∵a2,a3,a9成等比數(shù)列
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+8d)
∴da1=d2…②
由①,②可得:a1=2,d=2或a1=6,d=0.
故得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n或an=6.
(2)∵a1≠a5
∴an=2n
Sn=na1+nn12×d=n2+n;
則:數(shù)列{1Sn}的通項(xiàng)公式:1Sn=1nn+1=1n1n+1;
數(shù)列{1Sn}的前n項(xiàng)和為:1S1+1S2++1Sn=112+1213++1n1n+1=11n+1=nn+1
故得數(shù)列{1Sn}的前n項(xiàng)和為nn+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查運(yùn)算能力,裂項(xiàng)相消法求解前n項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.

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