Question

【題目】已知向量 =（cosα，﹣1）， =（2，sinα），其中 ，且 ．
（1）求cos2α的值；
（2）若sin（α﹣β）= ，且 ，求角β．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（cosα，﹣1）， =（2，sinα），其中 ，且 ．

∴ =2cosα﹣sinα=0，

∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，∴cos2α= ，

∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣ ．

（2）解：∵cos2α= ， ，∴cosα= ，sinα= = ，

∵sin（α﹣β）= ，且 ，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ= ，

∴2cosβ﹣sinβ= ，∴sinβ=2cos ，∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2 ﹣ =0，解得cosβ= 或cosβ=﹣ （舍），

∵ ，∴β=

【解析】1、由向量垂直的坐標(biāo)表示可求得cos2α= 再根據(jù)二倍角公式得到結(jié)果。
2、根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sinα的值，再由兩角和差的正弦公式得到sinβ=2cos β 的關(guān)系，代入sin2β+cos2β=1解得cosβ=，再由 β的范圍可得 β=。

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直．