Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（0，1）且互相垂直的兩條直線分別與
圓O：x2+y2=4交于點(diǎn)A，B，與圓M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于點(diǎn)C，D．

（1）若 ，求CD的長(zhǎng)；
（2）若CD中點(diǎn)為E，求△ABE面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)直線AB的方程為：y=kx+1（k≠0），

∵ ，∴ + =22，

化為：k2=15，

解得k= ．

∴直線CD的方程為：y= x+1．

∴|CD|=2 = ．

（2）①直線AB為y軸時(shí)，直線AB的方程為：x=0，直線CD的方程為：y=1．

S△ABE= = =4．

②直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+1，

若k=0，則方程為y=1，經(jīng)過圓心（2，1），此時(shí)△ABE不存在，舍去．

k≠0時(shí)，可得直線CD的方程為：y=﹣ x+1．

|AB|=2 =2 ．

聯(lián)立 ，化為：（k2+1）x2﹣4k2x+3k2=0，

△=16k4﹣12（k2+1）k2＞0，化為：k2＞3．

∴x1+x2= ，可得E ．

∴點(diǎn)E到直線AB的距離d= = ．

∴S△ABE= |AB|d= ×2 × =2 =2 ，

令k2+1=t＞1，可得f（t）= = ∈（0，2）．

∴S△ABE∈（0，4）．

綜上可得：S△ABE∈（0，4]．

【解析】（1）本小題主要利用圓中弦長(zhǎng)的一半、圓心到弦的距離及圓的半徑組成的直角三角形并利用勾股定理來解題；（2）本題的難點(diǎn)在于針對(duì)直線AB斜率的進(jìn)行分類，對(duì)于直線的斜率可以分為不存在、存在時(shí)為0及存在時(shí)不為0.