Question

【題目】如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點(diǎn)為，釘尖為．

（1）判斷四面體的形狀，并說明理由；

（2）設(shè)，當(dāng)在同一水平面內(nèi)時(shí)，求與平面所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（3）若該“釘”著地后的四個(gè)線段根據(jù)需要可以調(diào)節(jié)與底面成角的大小，且保持三個(gè)線段與底面成角相同，若，，問為何值時(shí)，的體積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）正四面體；理由見解析（2）；（3）當(dāng)時(shí)，最大體積為：；

【解析】

（1）根據(jù)線段等長首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點(diǎn)均有正三棱錐結(jié)論出現(xiàn)，可知四面體棱長均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設(shè)正四面體棱長為，利用表示出各邊，利用勾股定理構(gòu)造方程可求得，從而可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；（3）取中點(diǎn)，利用三線合一性質(zhì)可知，從而可用表示出底面邊長和三棱錐的高，根據(jù)三棱錐體積公式可將體積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，并確定此時(shí)的取值，從而得到結(jié)果.

（1）四面體為正四面體，理由如下：

四條線段等長，即到四面體四個(gè)頂點(diǎn)距離相等 為四面體外接球的球心

又底面 在底面的射影為的外心

四面體為正三棱錐，即，

又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，若豎直向上

可得：

可知四面體各條棱長均相等 為正四面體

（2）由（1）知，四面體為正四面體，且為其外接球球心

設(shè)中心為，則平面，如下圖所示：

即為與平面所成角

設(shè)正四面體棱長為

則，

在中，，解得：

即與平面所成角為：

（3）取中點(diǎn)，連接，

，為中點(diǎn) 且

，

令，，則

設(shè)，，則

令，解得：，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，取極大值，即為最大值：

即當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為：

此時(shí)，即

綜上所述，當(dāng)時(shí)，體積最大，最大值為：