Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），兩個焦點分別為F₁、F₂，斜率為k的直線l過右焦點F₂且與橢圓交于A、B兩點，設(shè)l與y軸交點為P，線段PF₂的中點恰為B．
（1）若|k|≤$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，求橢圓C的離心率的取值范圍．
（2）若k=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，A、B到右準線距離之和為$\frac{9}{5}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)右焦點F₂（c，0），l：y=k（x-c）則P（0，-ck），由中點坐標公式可得：$B（\frac{c}{2}，-\frac{ck}{2}）$，由于B在橢圓上，可得${k^2}=\frac{{4{b^2}}}{c^2}\frac{{4{a^2}-{c^2}}}{{4{a^2}}}=（\frac{1}{e^2}-1）（4-{e^2}）=\frac{4}{e^2}+{e^2}-5$，由于$|k|≤\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，解出即可得出．
（2）$k=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，可得$e=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，則$\frac{c^2}{a^2}=\frac{4}{5}$，橢圓方程為${x^2}+5{y^2}=\frac{5}{4}{c^2}$．直線l方程為$y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}（x-c），B（\frac{c}{2}，-\frac{{\sqrt{5}}}{5}c）$，右準線為$x=\frac{5}{4}c$．設(shè)A（x₀，y₀）可得$（\frac{5}{4}c-{x_0}）+（\frac{5}{4}c-\frac{c}{2}）=\frac{9}{5}$，解出代入橢圓標準方程即可得出．

解答 解：（1）設(shè)右焦點F₂（c，0），l：y=k（x-c）則P（0，-ck），
∵B為F₂P的中點，∴$B（\frac{c}{2}，-\frac{ck}{2}）$，
∵B在橢圓上，∴$\frac{c^2}{{4{a^2}}}+\frac{{{c^2}{k^2}}}{{4{b^2}}}=1$，
∴${k^2}=\frac{{4{b^2}}}{c^2}\frac{{4{a^2}-{c^2}}}{{4{a^2}}}=（\frac{1}{e^2}-1）（4-{e^2}）=\frac{4}{e^2}+{e^2}-5$，
∵$|k|≤\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴$\frac{4}{e^2}+{e^2}-5≤\frac{4}{5}$，
∴（5e²-4）（e²-5）≤0，∴$\frac{4}{5}≤{e^2}＜1$，∴$e∈[\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，1）$．
（2）$k=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴$e=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，則$\frac{c^2}{a^2}=\frac{4}{5}$，∴${a^2}=\frac{5}{4}{c^2}，{b^2}=\frac{1}{4}{c^2}$，
橢圓方程為$\frac{x^2}{{\frac{5}{4}{c^2}}}+\frac{y^2}{{\frac{1}{4}{c^2}}}=1$，即${x^2}+5{y^2}=\frac{5}{4}{c^2}$．
直線l方程為$y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}（x-c），B（\frac{c}{2}，-\frac{{\sqrt{5}}}{5}c）$，右準線為$x=\frac{5}{4}c$．
設(shè)A（x₀，y₀）則$（\frac{5}{4}c-{x_0}）+（\frac{5}{4}c-\frac{c}{2}）=\frac{9}{5}$，
∴${x_0}=2c-\frac{9}{5}，{y_0}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}（c-\frac{9}{5}）$，
又∵A在橢圓上，∴${（2c-\frac{9}{5}）^2}+5{[\frac{{2\sqrt{5}}}{5}（c-\frac{9}{5}）]^2}=\frac{5}{4}{c^2}$，即（c-2）（5c-6）=0，
∴c=2或$c=\frac{6}{5}$．
所求橢圓方程為$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$或$\frac{{5{x^2}}}{9}+\frac{25}{9}{y^2}=1$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．