【題目】等差數(shù)列和等比數(shù)列中, ,項(xiàng)和.

(1)若 ,求實(shí)數(shù)的值;

(2)是否存在正整數(shù),使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中?若存在,求出所有的,若不存在,說(shuō)明理由;

(3)是否存在正實(shí)數(shù),使得數(shù)列中至少有三項(xiàng)在數(shù)列中,但中的項(xiàng)不都在數(shù)列中?若存在,求出一個(gè)可能的的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) .

(2) 所有的符合題意的.

(3) .

【解析】

試題分析:(1)數(shù)列是等比數(shù)列,其前和的極限存在,因此有公式滿足,且極限為(2)由于是正整數(shù),因此可對(duì)按奇偶來(lái)分類討論,因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí),等比數(shù)列的公比不是整數(shù),是分?jǐn)?shù),從而數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)都不是整數(shù),都不在數(shù)列中,而當(dāng)為偶數(shù)時(shí),數(shù)列的所有項(xiàng)都在中,設(shè),則,展開(kāi)有

,這里用到了二項(xiàng)式定理,,結(jié)論為真;(3)存在時(shí)只要找一個(gè),首先不能為整數(shù),下面我們只要寫(xiě)兩數(shù)列的通項(xiàng)公式,讓 ,取特殊值求出,如取,可得,此時(shí)在數(shù)列中,由于是無(wú)理數(shù),會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)列除第一項(xiàng)以外都是無(wú)理數(shù),而是整數(shù),不在數(shù)列中,命題得證,(如取其它的又可得到另外的)

試題解析:(1)對(duì)等比數(shù)列,公比

因?yàn)?/span>,所以. 2分

解方程, 4分

因?yàn)?/span>,所以. 6分

2)當(dāng)取偶數(shù)時(shí),中所有項(xiàng)都是中的項(xiàng). 8

: 由題意:均在數(shù)列中,

當(dāng)時(shí),

說(shuō)明的第n項(xiàng)是中的第項(xiàng). 10

當(dāng)取奇數(shù)時(shí),因?yàn)?/span>不是整數(shù),

所以數(shù)列的所有項(xiàng)都不在數(shù)列中。 12

綜上,所有的符合題意的

3)由題意,因?yàn)?/span>中,所以中至少存在一項(xiàng)中,另一項(xiàng)不在中。 14

,即.

4,得(舍負(fù)值)。此時(shí)。 16

當(dāng)時(shí),,對(duì)任意,. 18

綜上,取

(此問(wèn)答案不唯一,請(qǐng)參照給分)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某省數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)共分為、四個(gè)等級(jí),在學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)分布后,從該省某地區(qū)考生中隨機(jī)抽取名考生,統(tǒng)計(jì)他們的數(shù)學(xué)成績(jī),部分?jǐn)?shù)據(jù)如下:

等級(jí)

頻數(shù)

頻率

(1)補(bǔ)充完成上述表格的數(shù)據(jù);

(2)現(xiàn)按上述四個(gè)等級(jí),用分層抽樣方法從這名考生中抽取名.在這名考生中,從成績(jī)?yōu)?/span>等和等的所有考生中隨機(jī)抽取名,求至少有名成績(jī)?yōu)?/span>等的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在測(cè)試中,客觀題難題的計(jì)算公式為,其中為第題的難度,為答對(duì)該題的人數(shù),為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)120名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試,共5道客觀題.測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如下表所示:

題號(hào)

1

2

3

4

5

考前預(yù)估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

測(cè)試后,從中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生,將他們編號(hào)后統(tǒng)計(jì)各題的作答情況,如下表所示(“√”表示答對(duì),“×”表示答錯(cuò)):

學(xué)生 編號(hào)

題號(hào)

1

2

3

4

5

1

×

2

×

3

×

4

×

×

5

6

×

×

×

7

×

×

8

×

×

×

×

9

×

×

×

10

×

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),將抽樣的10名學(xué)生每道題實(shí)測(cè)的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度填入下表,并估計(jì)這120名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù);

題號(hào)

1

2

3

4

5

實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)

實(shí)測(cè)難度

(2)從編號(hào)為1到5的5人中隨機(jī)抽取2人,求恰好有1人答對(duì)第5題的概率;

(3)定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第題的實(shí)測(cè)難度,為第題的預(yù)估難度().規(guī)定:若,則稱該次測(cè)試的難度估合理,否則為不合理.判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級(jí)如表1所示.

1

空氣質(zhì)量等級(jí)(空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI))

頻數(shù)

頻率

優(yōu)(

83

22.8%

良(

121

33.2%

輕度污染(

68

18.6%

中度污染(

49

13.4%

重度污染(

30

8.2%

嚴(yán)重污染(

14

3.8%

合計(jì)

365

100%

20165月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)如下:

5 240 80 56 53 92 126 45 87 56 60

191 62 55 58 56 53 89 90 125 124

103 81 89 44 34 53 79 81 62 116

88

6 63 92 110 122 102 116 81 163 158 76

33 102 65 53 38 55 52 76 99 127

120 80 108 33 35 73 82 90 146 95

選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù),并回答下列問(wèn)題:

1)分析該市20166月的空氣質(zhì)量情況.

2)比較該市20165月和6月的空氣質(zhì)量,哪個(gè)月的空氣質(zhì)量較好?

3)比較該市20166月與該市2015年全年的空氣質(zhì)量,20166月的空氣質(zhì)量是否好于去年?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知,

1)如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的解析式;

2)在(1)的條件下,求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;

3)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)判斷的奇偶性并證明;

2)若,判斷的單調(diào)性并用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論加以說(shuō)明;

3)若,是否存在,使的值域?yàn)?/span>?若存在,求出此時(shí)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下表是我國(guó)某城市在2017年1月份至10月份各月最低溫與最高溫 的數(shù)據(jù)一覽表

已知該城市的各月最低溫與最高溫具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)該一覽表,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( )

A. 最低溫與最高溫為正相關(guān)

B. 每月最高溫與最低溫的平均值前8個(gè)月逐月增加

C. 月溫差(最高溫減最低溫)的最大值出現(xiàn)在1月

D. 1月至4月的月溫差(最高溫減最低溫)相對(duì)于7月至10月,波動(dòng)性更大

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,矩形中,,以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.

(1)若,求三棱錐體積的最大值;

(2)若,證明:平面平面;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】一個(gè)不透明的袋子中,放有大小相同的5個(gè)小球,其中3個(gè)黑球,2個(gè)白球.如果不放回的依次取出2個(gè)球.回答下列問(wèn)題:

()第一次取出的是黑球的概率;

()第一次取出的是黑球,且第二次取出的是白球的概率;

()在第一次取出的是黑球的條件下,第二次取出的是白球的概率.

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