Question

已知橢圓

x2

5

+

y2

4

=1，過右焦點F₂的直線l交橢圓于A、B兩點，若|AB|=

4 5

9

，求直線l的直線方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：當(dāng)AB⊥x軸時，把x=1代入可得

1

5

+

y2

4

=1，解得y，此時|AB|=

8 5

5

≠

4 5

9

，舍去．當(dāng)AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式解出即可．

解答： 解：c=

5-4

=1，∴F₂（1，0）．
當(dāng)AB⊥x軸時，把x=1代入可得

1

5

+

y2

4

=1，解得y=±

4 5

5

，此時|AB|=

8 5

5

≠

4 5

9

，舍去．
當(dāng)AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 5 + y2 4 =1

，化為（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0，
∴x₁+x₂=

10k2

4+4k2

，x1x2=

5k2-20

4+5k2

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 100k4 (4+5k2)2 - 4(5k2-20) 4+5k2 ]

=

4 5

9

，
化為13k²=-14，
∴滿足|AB|=

4 5

9

的直線l不存在．
綜上可得：滿足|AB|=

4 5

9

的直線l不存在．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．