Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax-1}{{{x^2}+2}}$（x∈R），當(dāng)x=2時(shí)f（x）取得極值．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）-2m+1=0在x∈[-2，1]時(shí)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用當(dāng)x=2時(shí)f（x）取得極值，建立方程，即可求a的值；
（2）由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，f_min（x）=-1，${f_{max}}（x）=\frac{1}{3}$，依題意$-1≤2m-1≤\frac{1}{3}$，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）${f^/}（x）=\frac{{-a{x^2}+2x+2a}}{{{{（{x^2}+2）}^2}}}$．
∵當(dāng)x=2時(shí)f（x）取得極值，
∴f′（2）=0，∴a=2；
（2）${f^/}（x）=-\frac{2（x-2）（x+1）}{{{{（{x^2}+2）}^2}}}$，由f′（x）＞0得-1＜x＜2；由f′（x）＜0得x＜-1或x＞2，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-1，2），減區(qū)間是（-∞，-1），（2，+∞）
（3）由（2）知函數(shù)f（x）在[-2，-1）單減，在（-1，1]單增．
當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，f_min（x）=-1，${f_{max}}（x）=\frac{1}{3}$，
依題意$-1≤2m-1≤\frac{1}{3}$，所以$0≤m≤\frac{2}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．