Question

19．已知函數(shù)f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{4}$+$\sqrt{3}$．
（1）求f（x）的最小正周期及最值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，再求：
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期和最大、最小值；
（2）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{4}$+$\sqrt{3}$
=sin$\frac{x}{2}$-2$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos\frac{x}{2}}{2}$+$\sqrt{3}$
=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$
=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）；
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期是T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
且當(dāng)$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即x=$\frac{π}{3}$+4kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值2，
當(dāng)$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即x=-$\frac{5π}{3}$+4kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值-2；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{3}$+4kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+4kπ，k∈Z；
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是：
[-$\frac{5π}{3}$+4kπ，$\frac{π}{3}$+4kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換以及正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．