Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且$a_5^2={a_{10}}$，2（a₁+a₃）=5a₂．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令${b_n}={a_n}+{（-1）^n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）對n分類討論，利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的首項為a₁，公比為q，
∴${（{a_1}{q^4}）^2}={a_1}{q^9}$，解得a₁=q．
又∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，∴$2（{a_n}+{a_n}{q^2}）=5{a_n}q$，
則2（1+q²）=5q，2q²-5q+2=0，解得$q=\frac{1}{2}$（舍）或q=2．
∴${a_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}$．
（2）∵${c_n}={（-1）^n}+{2^n}$，n為偶數(shù)時，${S_n}=（-1+1-1+…-1+1）+\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}=-2+{2^{n+1}}$；
n為奇數(shù)時，${S_n}=（-1+1+…1-1）+\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}=-1-2+{2^{n+1}}={2^{n+1}}-3$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2，n為偶數(shù)}\\{{2}^{n+1}-3，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．