Question

4．已知平面直角坐標(biāo)系xOy，曲線C的方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=-\sqrt{3}+2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，P點的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），直線l的極坐標(biāo)方程為4ρcosθ+3ρsinθ+1=0．
（1）寫出點P的直角坐標(biāo)及曲線C的普通方程；
（2）若Q為曲線C上的動點，求PQ中點M到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$x=2\sqrt{3}cos\frac{π}{6}$=3，y=2$\sqrt{3}sin\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，能求出點P的直角坐標(biāo)，由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=-\sqrt{3}+2sinφ\end{array}\right.$，消去φ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）求出直線l的普通方程為4x+3y+1=0，設(shè)$Q（2cosφ，-\sqrt{3}+2sinφ）$，則$M（\frac{3}{2}+cosφ，sinφ）$，利用點到直線l的距離公式能求出點M到直線l的最小距離．

解答 解：（1）∵P點的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），
$x=2\sqrt{3}cos\frac{π}{6}$=3，y=2$\sqrt{3}sin\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，
∴點P的直角坐標(biāo)為$（3，\sqrt{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=-\sqrt{3}+2sinφ\end{array}\right.$，消去φ得，${x^2}+{（y+\sqrt{3}）^2}=4$，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為${x^2}+{（y+\sqrt{3}）^2}=4$．…（5分）
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=-\sqrt{3}+2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
∵直線l的極坐標(biāo)方程為4ρcosθ+3ρsinθ+1=0，
∴直線l的普通方程為4x+3y+1=0，
設(shè)$Q（2cosφ，-\sqrt{3}+2sinφ）$，則$M（\frac{3}{2}+cosφ，sinφ）$，
∴點M到直線l的距離為$d=\frac{|4cosφ+3sinφ+7|}{5}=\frac{|5sin（φ+α）+7|}{5}≥\frac{2}{5}$，
∴點M到直線l的最小距離為$\frac{2}{5}$．…（10分）

點評 本題考查點的直角坐標(biāo)及曲線的普通方程的求示，考查線段落中點到直線距離的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意中點坐標(biāo)公式、點到直線的距離公式的合理運用．