Question

20．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，{c_n}，滿足a₁=8，b₁=10，c₁=6，且a_n+1=a_n，b_n+1=$\frac{{c}_{n}+{a}_{n}}{2}$，c_n+1=$\frac{_{n}+{a}_{n}}{2}$，則b_n=2×（-$\frac{1}{2}$）^n-1+8．

Answer 1

分析 由條件可知a_n=8，b_n+1=$\frac{{c}_{n}}{2}$+4，c_n+1=$\frac{_{n}}{2}$+4，兩式相減求得c_n+1-b_n+1=-$\frac{1}{2}$（c_n-b_n），c₁-b₁=-4，{c_n-b_n}是以-4為首項，以-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，求得通項公式；兩式相加，利用數(shù)學(xué)歸納法證明：c_n+b_n=16，將c_n=16-b_n代入通項公式，即可求得b_n．

解答 解：由a₁=8，a_n+1=a_n=8，
b_n+1=$\frac{{c}_{n}+{a}_{n}}{2}$=$\frac{{c}_{n}}{2}$+4，
c_n+1=$\frac{_{n}+{a}_{n}}{2}$=$\frac{_{n}}{2}$+4，
∴c_n+1-b_n+1=-$\frac{1}{2}$（c_n-b_n），
c₁-b₁=6-10=-4，
∴{c_n-b_n}是以-4為首項，以-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
c_n-b_n=（-4）×（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
c_n+1+b_n+1=$\frac{1}{2}$（c_n+b_n）+8，
∵c₁+b₁=16，
∴c₂+b₂=16，
c₃+b₃=16，
猜想：c_n+b_n=16，
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，c₁+b₁=16，結(jié)論成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即c_k+b_k=16，
那么當(dāng)n=k+1時，c_k+1+b_k+1=$\frac{1}{2}$（c_k+b_k）+8=16，即當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立，
由①②得：當(dāng)n=N^*時，c_n+b_n=16恒成立，
將c_n=16-b_n代入c_n-b_n=（-4）×（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
解得：b_n=2×（-$\frac{1}{2}$）^n-1+8，
故答案為：b_n=2×（-$\frac{1}{2}$）^n-1+8．

點評 本題考查求等比數(shù)列通項公式，考查數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，綜合能力較強，考查學(xué)生分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．