Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{{（n+1）{a_n}}}{2}$，且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=lna_n，是否存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k，b_k+1，b_k+2成等比數(shù)列．若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由；
（3）已知當n∈N^*且n≥6時，（1-$\frac{m}{n+3}}$）ⁿ＜（$\frac{1}{2}}$）^m，其中m=1，2，…，n，求滿足等式3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（a_n+3）${\;}^{{a}_{n}}$的所有n的值．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系、“累乘求積”即可得出．
（2）假設存在k（k≥2，k∈N），使得b_k，b_k+1，b_k+2成等比數(shù)列，可得b_k•b_k+2=$_{k+1}^{2}$．b_n=lna_n=lnn．（n≥2），利用基本不等式的性質、對數(shù)的運算性質即可得出．
（3）由（1）得等式${3^n}+{4^n}+…+{（n+2）^n}={（{a_n}+3）^{a_n}}$，可化為3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ，即${（{\frac{3}{n+3}}）^n}+{（{\frac{4}{n+3}}）^n}+…+{（{\frac{n+2}{n+3}}）^n}=1$，化為${（{1-\frac{n}{n+3}}）^n}+{（{1-\frac{n-1}{n+3}}）^n}+…+{（{1-\frac{1}{n+3}}）^n}=1$．當n≥6時，${（{1-\frac{m}{n+3}}）^n}＜{（{\frac{1}{2}}）^m}$，可得當n≥6時，3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ，當n=1，2，3，4，5時，經(jīng)驗算即可得出結論．

解答 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{（n+1）{a_n}}}{2}$-$\frac{n{a}_{n-1}}{2}$，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$（n≥2）．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$×$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$×…×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×{a}_{1}$
=$\frac{n}{n-1}×\frac{n-1}{n-2}$×…×$\frac{3}{2}×\frac{2}{1}$×1
=n．
∵a₁=1，也符合上式．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n（n∈N^*）．
（2）假設存在k（k≥2，k∈N），使得b_k，b_k+1，b_k+2成等比數(shù)列，
則b_k•b_k+2=$_{k+1}^{2}$．
∵b_n=lna_n=lnn．（n≥2），
∴b_k•b_k+2=lnk•ln（k+2）＜$[\frac{lnk+ln（k+2）}{2}]^{2}$=$[\frac{ln（{k}^{2}+2k）}{2}]^{2}$＜$[\frac{ln（k+1）^{2}}{2}]^{2}$=[ln（k+1）]²=$_{k+1}^{2}$．
這與b_k•b_k+2=$_{k+1}^{2}$矛盾．
∴不存在k（k≥2，k∈N），使得b_k，b_k+1，b_k+2成等比數(shù)列．
（3）由（1）得等式${3^n}+{4^n}+…+{（n+2）^n}={（{a_n}+3）^{a_n}}$，可化為3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ，
即${（{\frac{3}{n+3}}）^n}+{（{\frac{4}{n+3}}）^n}+…+{（{\frac{n+2}{n+3}}）^n}=1$，
∴${（{1-\frac{n}{n+3}}）^n}+{（{1-\frac{n-1}{n+3}}）^n}+…+{（{1-\frac{1}{n+3}}）^n}=1$．
∵當n≥6時，${（{1-\frac{m}{n+3}}）^n}＜{（{\frac{1}{2}}）^m}$，∴${（{1-\frac{1}{n+3}}）^n}＜\frac{1}{2}$，${（{1-\frac{2}{n+3}}）^n}＜{（{\frac{1}{2}}）^2}$，…，${（{1-\frac{n}{n+3}}）^n}＜{（{\frac{1}{2}}）^n}$，
∴${（{1-\frac{n}{n+3}}）^n}+{（{1-\frac{n-1}{n+3}}）^n}+…+{（{1-\frac{1}{n+3}}）^n}＜\frac{1}{2}+{（{\frac{1}{2}}）^2}+…+{（{\frac{1}{2}}）^n}=1-{（{\frac{1}{2}}）^n}＜1$．
∴當n≥6時，3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ
當n=1，2，3，4，5時，經(jīng)驗算n=2，3時等號成立，
∴滿足等式${3^n}+{4^n}+…+{（{n+2}）^n}={（{{a_n}+3}）^{a_n}}$的所有n=2，3．

點評 本題考查了遞推關系、“累乘求積”、等比數(shù)列的通項公式及其性質、基本不等式的性質、對數(shù)的運算性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．