Question

8．某重點大學自主招生考試過程依次為自薦材料審查、筆試、面試共三輪考核．規(guī)定：只能通過前一輪考核才能進入下一輪的考核，否則將被淘汰；三輪考核都通過才算通過該高校的自主招生考試．學生甲三輪考試通過的概率分別為$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$，且各輪考核通過與否相互獨立．
（1）求甲通過該高校自主招生考試的概率；
（2）若學生甲每通過一輪考核，則家長獎勵人民幣1000元作為大學學習的教育基金．記學生甲得到教育基金的金額為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由題意利用相互獨立事件概率乘法公式能求出甲通過該高校自主招生考試的概率．
（2）由題意得X的可能取值為0，100，200，300，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由題意得甲通過該高校自主招生考試的概率：
p=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$．
（2）由題意得X的可能取值為0，100，200，300，
P（X=0）=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=100）=$\frac{2}{3}×（1-\frac{3}{4}）$=$\frac{1}{6}$，
P（X=200）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×（1-\frac{4}{5}）$=$\frac{1}{10}$，
P（X=300）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$，
∴X的分布列為：

X	0	100	200	300
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$

EX=$0×\frac{1}{3}+100×\frac{1}{6}+200×\frac{1}{10}+300×\frac{2}{5}$=$\frac{470}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．