Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）-e^xlnx
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，且b=1，求a；
（2）若b=-a，且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，求出a的值即可；
（2）求出f（x）的導數(shù)，問題轉化為a≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$在[1，+∞）恒成立即可，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x≥1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）b=1時，f（x）=e^x（ax+1）-e^xlnx，
f′（x）=e^x（ax-lnx+a+1-$\frac{1}{x}$），f′（1）=e（a+a-1+1）=0，
解得：a=0；
（2）若b=-a，則f（x）=e^x（ax-a）-e^xlnx，
f′（x）=e^x（ax-lnx-$\frac{1}{x}$），
若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
只需ax-lnx-$\frac{1}{x}$≥0在[1，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$在[1，+∞）恒成立即可，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x≥1），
g′（x）=$\frac{x-xlnx-2}{{x}^{3}}$，
令h（x）=x-xlnx-2，（x≥1），
則h′（x）=1-（lnx+1）=-lnx＜0，
∴h（x）在[1，+∞）遞減，
∴h（x）＜h（1）=-1＜0，
即x≥1時，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，+∞）遞減，
∴g（x）≤g（1）=1，
∴a≥1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．