Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的公比q≠1．
（1）請用數(shù)學(xué)歸納法證明：a₁+a₂+…+a_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$；
（2）請用反證法證明：a₁+1，a₂+1，a₃+1不成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明即可；
（2）假設(shè)a₁+1，a₂+1，a₃+1成等比數(shù)列，可得（a₂+1）²=（a₁+1）（a₃+1），代入后推矛盾即可．

解答 證明：（1）①當(dāng)n=1時，左邊=S₁=a₁，右邊=a₁，等式成立．
②假設(shè)n=k（k≥1）時，等式成立，即S_k=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k}）}{1-q}$成立．
那么，當(dāng)n=k+1時，S_k+1=S_k+a_k+1
=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k}）}{1-q}$+${a}_{1}{q}^{k}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{1}{q}^{k}+{a}_{1}{q}^{k}-{a}_{1}{q}^{k+1}}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k+1}）}{1-q}$，
即當(dāng)n=k+1時，等式也成立．
根據(jù)①②可知等式對任意的正整數(shù)n都成立．
（2）假設(shè)a₁+1，a₂+1，a₃+1成等比數(shù)列，
則（a₂+1）²=（a₁+1）（a₃+1）
∴（a₁q+1）²=（a₁+1）（a₁q²+1）
展開化簡可得q²-2q+1=0，解得q=1，
這與q≠1矛盾，
∴a₁+1，a₂+1，a₃+1不成等比數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，涉及反證法的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．