Question

已知函數(shù) f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式 f（x-1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且 a≠0，求 f（ab）＞|a|f（

b

a

）．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）解不等式可得|x-2|+|x+2|≥6，根據(jù)絕對值的意義，而-3和3對應(yīng)點(diǎn)到2、-2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，從而求得不等式 f（x-1）+f（x+3）≥6的解集．
（Ⅱ）用分析法證明 f（ab）＞|a|f（

b

a

）成立．

解答： 解：（Ⅰ）解不等式 f（x-1）+f（x+3）≥6，可得|x-2|+|x+2|≥6．
根據(jù)絕對值的意義可得|x-2|+|x+2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到2、-2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-3和3對應(yīng)點(diǎn)到2、-2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，故不等式 f（x-1）+f（x+3）≥6的解集為{
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且 a≠0，要證 f（ab）＞|a|f（

b

a

），只要證|ab-1|＞|b-a|，
只要證（ab-1）²＞（b-a）²．
而（ab-1）²-（b-a）²=a²•b²-a²-b²+1=（a²-1）（b²-1）＞0，故 （ab-1）²＞（b-a）² 成立．
故要證的不等式 f（ab）＞|a|f（

b

a

）成立．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，用分析法證明不等式，屬于基礎(chǔ)題．