Question

四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的

2

倍，P為側(cè)棱SD上的點．
（Ⅰ）當SP：PD為何值時，直線SD⊥平面PAC，
（Ⅱ）在（1）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC，若存在，求SE：EC的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知可求得∠DPO=90°，由正方形邊長2，則SD=2

2

，又OD=

2

，可求∠SDO=60°，由cos∠SDO=

PD

OD

，可解得PD的值，從而可求SP：PD的比值．
（Ⅱ）取SD中點為N，因為PD：SP=1：3，則PN=PD，過N作PC的平行線與SC的交點即為E．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，即可得到平面BEN∥平面PAC，使得BE∥平面PAC，進而求得SE：EC的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線SD⊥平面PAC，OP?平面PAC，
∴直線SD⊥OP，故∠DPO=90°．
由正方形邊長2，則SD=2

2

，
又OD=

2

，所以∠SDO=60°，
由cos∠SDO=

PD

OD

，可解得：PD=OD×cos∠SDO=

2

×

1

2

=

2

2

，
故SP：PD=（2

2

-

2

2

）：

2

2

=3：1．
（Ⅱ）在棱SC上存在一點E，使BE∥平面PAC，由（Ⅱ）可得PD=

2

2

，
故可在SP上取一點N，使PN=PD，
過N作PC的平行線與SC的交點即為E，連結(jié)BN，
在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，
故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，
由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．

點評：本題主要考查了立體幾何中平面與平面平行的性質(zhì)以及線段垂直平面的性質(zhì)，屬于中檔題．