Question

18．已知點(diǎn)F是拋物線x²=12y的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其上的動點(diǎn)，若$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MP}$，則點(diǎn)M的軌跡方程是x²=6y-9．

Answer 1

分析 根據(jù)題意算出拋物線的焦點(diǎn)為F（0，3），設(shè)M（x，y）、P的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{12}$t²），由$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MP}$，建立關(guān)于x、y、t的方程組，再消去參數(shù)t即可得到動點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{12}$t²）
∵拋物線y²=12y中，2p=12，可得p=6，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（0，3），
∴$\overrightarrow{FM}$=（x，y-3），$\overrightarrow{MP}$=（t-x，$\frac{1}{12}$t²-y），
又∵動點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MP}$，
∴（x，y-3）=（t-x，$\frac{1}{12}$t²-y），
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=t-x}\\{y-3=\frac{1}{12}{t}^{2}-y}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t可得x²=6y-9，即為動點(diǎn)M的軌跡方程．
故答案為：x²=6y-9

點(diǎn)評 本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程．著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．