Question

6．如圖，四邊形ABCD為菱形，ACFE為平行四邊形，且平面ACFE⊥平面ABCD，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)G，H為FG的中點(diǎn)．
（1）證明：BD⊥CH；
（2）若$AB=BD=2，AE=\sqrt{3}，CH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
①求三棱錐F-BDC的體積．
②求二面角B-DF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由菱形性質(zhì)得BD⊥AC，由面面垂直的性質(zhì)得BD⊥面ACFE，由此能證明BD⊥CH．
（2）①由已知得∠GCF=120°，GF=3，由線面垂直得BD⊥GF，從而S_△BDF=3，由CH⊥BD，CH⊥GF，得CH⊥平面BDF，由V_F-BDC=V_C-BDF，利用等積法能求出三棱錐F-BDC的體積．
②求出C到DF的距離，即可求二面角B-DF-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC，
又∵面ACFE∩面ABCD=AC，BD?平面ABCD，面ABCD⊥面ACFE，
∴BD⊥面ACFE，
∵CH?面ACFE，∴BD⊥CH；
解：（2）①在△FCG中，$CG=CF=\sqrt{3}，CH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，CH⊥GF$
∴∠GCF=120°，GF=3．
∵BD⊥面ACFE，GF?面ACFE，
∴BD⊥GF，
${S_{△BDF}}=\frac{1}{2}BD•GF=\frac{1}{2}×2×3=3$．
又∴CH⊥BD，CH⊥GF，
∴BD∩GF=G，BD，GF?平面BDF
∴CH⊥平面BDF
∴${V_{F-BDC}}={V_{C-BDF}}=\frac{1}{3}•{S_{△BDF}}•CH=\frac{1}{3}•3•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
②△CDF中，CD=2，CF=$\sqrt{3}$，DF=$\sqrt{1+9}$=$\sqrt{10}$，
∴cos∠DCF=$\frac{4+3-10}{2×2×\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴sin∠DCF=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴S_△DCF=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{\sqrt{39}}{4}$，
設(shè)C到DF的距離為h，則$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×h$=$\frac{\sqrt{39}}{4}$，
∴h=$\frac{\sqrt{390}}{20}$，
設(shè)二面角B-DF-C的平面角為θ，則tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{390}}{20}}$=$\frac{\sqrt{130}}{13}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{299}}{23}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，二面角B-DF-C的平面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意線面、面面平行與垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．