Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，

1

an+1

+

2

an

=（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{

1

an

-（-1）ⁿ}（n∈N^*）是等比數(shù)列；
（2）設b_n=

1

an2

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}前n項和S_n；
（3）設c_n=-2ⁿa_na_n+1，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證T_n＜

1

3

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）

1

an+1

+

2

an

=（-1）ⁿ（n∈N^*），變形為

1

an+1

-(-1)n+1=-2(

1

an

-(-1)n)，利用等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（3）利用“裂項求和”即可證明．

解答： （1）證明：∵

1

an+1

+

2

an

=（-1）ⁿ（n∈N^*），
∴

1

an+1

-(-1)n+1=-2(

1

an

-(-1)n)，
∴數(shù)列{

1

an

-（-1）ⁿ}（n∈N^*）是等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可得

1

an

-（-1）ⁿ=(

1

a1

+1)（-2）^n-1=3•（-2）^n-1，
∴

1

an

=3（-2）^n-1+（-1）ⁿ，
∴b_n=

1

an2

=[3×2^n-1-1]²=9×4^n-1-3×2ⁿ+1，
∴數(shù)列{b_n}前n項和S_n=

9(4n-1)

4-1

-

3×2×(2n-1)

2-1

+n=3×4ⁿ-3×2ⁿ⁺¹+3+n．
（3）c_n=-2ⁿa_na_n+1=

2n

[3×(-2)n-1+(-1)n][3×(-2)n+(-1)n+1]

=

2n

(3×2n-1-1)(1-3×2n)

=

2

3

(

1

3×2n-1-1

-

1

3×2n-1

)．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n=

2

3

[(

1

2

-

1

5

)+(

1

5

-

1

11

)+…+(

1

3×2n-1-1

-

1

3×2n-1

)]=

2

3

[

1

2

-

1

3×2n-1

]＜

1

3

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．