Question

5．過M（-1，0）作斜率為k的直線l，交拋物線m：y²=4x于P₁，P₂兩點，若P為弦P₁P₂中點，直線PF（F為焦點）的斜率為k′，設$\frac{k′}{k}$=f（k），求f（k）的解析式，并求其定義域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 設出直線方程，將直線方程代入橢圓方程，根據(jù)△＞0及k≠0求得f（k）的定義域，由韋達定理求得x₁+x₂，直線l的斜率k=$\frac{a+1}$，直線PF的斜率為k′=$\frac{a-1}$，f（k）=$\frac{a+1}{a-1}$，求得a的值，代入即可求得f（x）的解析式，求導，令f′（k）＜0及f′（k）＞0，求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間．

解答 解：由已知條件可知，直線l方程：y=k（x+1），l與拋物線的兩個交點P₁與P₂的橫坐標分別為x₁和x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
整理得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
∴直線l與該拋物線有兩個交點的充要條件是：（2k²-4）²-4k²•k²＞0且k≠0．
解得：k∈（-1，0）∪（0，1），
設點P的坐標為（a，b），
則直線l的斜率k=$\frac{a+1}$，直線PF的斜率為k′=$\frac{a-1}$，
∴f（k）=$\frac{a+1}{a-1}$，
∴a=$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
∴f（k）=$\frac{1}{1-{k}^{2}}$，（k∈（-1，0）∪（0，1）），
f′（k）=$\frac{2k}{（1-{k}^{2}）^{2}}$，
當k∈（-1，0），f′（k）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當k∈（0，1），f′（k）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
f（k）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0）．

點評 本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查直線與拋物線的綜合問題，韋達定理，利用導函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．