Question

【題目】某競賽的題庫系統(tǒng)有60%的自然科學類題目，40%的文化生活類題目(假設題庫中的題目總數(shù)非常大)，參賽者需從題庫中抽取3個題目作答，有兩種抽取方法：方法一是直接從題庫中隨機抽取3個題目；方法二是先在題庫中按照題目類型用分層抽樣的方法抽取10個題目作為樣本，再從這10個題目中任意抽取3個題目．

(1)兩種方法抽取的3個題目中，恰好有1個自然科學類題目和2個文化生活類題目的概率是否相同?若相同，說明理由；若不同，分別計算出兩種抽取方法對應的概率．

(2)已知某參賽者抽取的3個題目恰好有1個自然科學類題目和2個文化生活類題目，且該參賽者答對自然科學類題目的概率為，答對文化生活類題目的概率為．設該參賽者答對的題目數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】（1）兩種抽取方法得到的概率不同（2）見解析

【解析】

（1）分別計算兩種方法下概率，再比較，（2）先確定隨機變量，再分別求對應概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求期望.

(1)兩種抽取方法得到的概率不同．

方法一：由于題庫中題目總數(shù)非常大，可以認為每抽取1個題目，抽到自然科學類題目的概率均為，抽到文化生活類題目的概率均為，所以抽取的3個題目中恰好有1個自然科學類題目和2個文化生活類題目的概率為× ()=．

方法二：按照題目類型用分層抽樣抽取的10個題目中有6個自然科學類題目和4個文化生活類題目，從這10個題目中抽取3個題目，恰好有1個自然科學類題目和2個文化生活類題目的概率為=

(2)由題意得，X的所有可能取值為0，1，2，3．

P(X=0)==，

P(X=1)= ++=

P(X=2)= ++=，P(X=3)= =．

所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P

X的數(shù)學期望E(X)=0× +1× +2× +3×=．