Question

【題目】f(x)的定義域為(0，＋∞)，且對一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，當x>1時，有f(x)>0。

(1)求f(1)的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明；

(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2；

(4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域。

Answer 1

【答案】(1)0,(2)見解析(3)(4)

【解析】

（1）利用賦值法令x=y，進行求解即可．

（2）利用抽象函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．

（3）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

（4）根據(jù)（2）的結(jié)論，將值域問題轉(zhuǎn)化為求最值，根據(jù)f（4）=2，結(jié)合f（）=f（x）﹣f（y），賦值x=16，y=4，代入即可求得f（16），從而求得f（x）在[1，16]上的值域

（1）令x=y，f（1）=f（）=f（x）﹣f（x）=0，x＞0

（2）設(shè)0＜x1＜x2，則由f（）=f（x）﹣f（y），得f（x2）﹣f（x1）=f（），

∵＞1，∴f（）＞0．∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

（3）∵f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），∴f（36）=2，

原不等式化為f（x2+3x）＜f（36），∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∴解得0＜x＜．故原不等式的解集為（0，）

（4）由（2）知f（x）在[1，16]上是增函數(shù)．

∴f（x）min=f（1）=0，f（x）max=f（16）．

∵f（4）=2，由f（）=f（x）﹣f（y），知f（）=f（16）﹣f（4），

∴ f（16）=2f（4）=4，∴ f（x）在[1，16]上的值域為[0，4]