已知數(shù)列a1,a2,…a30,其中a1,a2,…a10,是首項為1,公差為1的等差數(shù)列;列a10,a11,…a20,是公差為d的等差數(shù)列;a20,a21,…a30,是公差為d2的等差數(shù)列(d≠0).
(1)若a20=40,求d;
(2)試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式,并求a30的取值范圍;
(3)續(xù)寫已知數(shù)列,使得a30,a31,…a40,是公差為d3的等差數(shù)列,…,依此類推,把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同(2)類似的問題((2)應(yīng)當(dāng)作為特例),并進(jìn)行研究,你能得到什么樣的結(jié)論?

解:(1)a10=1+9=10.a(chǎn)20=10+10d=40,∴d=3.
(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),
a30=10
當(dāng)d∈(-∞,0)∪(0,+∞)時,a30∈[7.5,+∞)
(3)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{an],
其中a1,a2,…,a10是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,
當(dāng)n≥1時,數(shù)列a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差為dn的等差數(shù)列.
研究的問題可以是:試寫出a10(n+1)關(guān)于d的關(guān)系式,并求a10(n+1)的取值范圍.
研究的結(jié)論可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3),
依此類推可得a10(n+1)=10(1+d+…+dn)=
當(dāng)d>0時,a10(n+1)的取值范圍為(10,+∞)等.
分析:(1)根據(jù)原等差數(shù)列的首項和公差求出a10,根據(jù)a20的值,由a10,a11,…a20,是公差為d的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于d的方程,求出方程的解即可得到d的值;(2)由a20,a21,…a30,是公差為d2的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的性質(zhì)表示出a30是關(guān)于d的二次函數(shù),根據(jù)d不等于0,利用二次函數(shù)即可求出a30的取值范圍;(3)根據(jù)題意歸納出:當(dāng)n≥1時,數(shù)列a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差為dn的等差數(shù)列,可以續(xù)寫已知數(shù)列,并利用類似(2)中的方法歸納出a10(n+1)的取值范圍.
點評:此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決實際問題,會根據(jù)特例總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律,是一道中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列a1,a2,…an,…和數(shù)列b1,b2,…,bn…,其中a1=p,b1=q,an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1(n≥2),(p,q,r是已知常數(shù),且q≠0,p>r>0),用p,q,r,n表示bn,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,令Tn=
S1+S2+…+Sn
n
,稱Tn為數(shù)列{an}的“理想數(shù)”,已知數(shù)列a1,a2…a501的“理想數(shù)”為2008,則數(shù)列2,a1,a2…a501的“理想數(shù)”為( 。
A、2002B、2004
C、2006D、2008

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,令Tn=
S1+S2+…+Sn
n
,稱Tn為數(shù)列a1,a2,…,an的“理想數(shù)”,已知數(shù)列a1,a2,…,a500的“理想數(shù)”為2004,那么數(shù)列12,a1,a2,…,a500的“理想數(shù)”為( 。
A、2002B、2004
C、2008D、2012

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,令Tn=
S1+S2+…+Sn
n
,稱Tn為數(shù)列a1,a2,…,an的“理想數(shù)”,已知數(shù)列a1,a2,…,a401的“理想數(shù)”為2010,那么數(shù)列6,a1,a2,…,a401的“理想數(shù)”為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首項為1公差為1的等差數(shù)列;a10,a11,…,a20是公差為d的等差數(shù)列;a20,a21,…a30是公差為d2的等差數(shù)列.
(Ⅰ)若a20=40,求 d;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求這個數(shù)列三十項的和S30

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